简单证明$A^TA$、$AA^T$、$A$、$A^T$秩相等

本篇文章证明：$rank(A^TA) = rank(AA^T) = rank(A) = rank(A^T)$

先证明：$Nul(A^TA) = Nul(A)$：

1. $Nul(A^TA) \subseteq Nul(A)$

   ​ 若 $x \in Nul(A^TA)$，那么$A^TAx = 0$

   ​ 那么$x^TA^TAx = 0$

   ​ 那么$(Ax)^TAx = 0$（即$\lVert Ax \rVert ^2 = 0$）

   ​ 我们可得$Ax = 0$，即$x \in Nul(A)$

2. $Nul(A) \subseteq Nul(A^TA)$

   ​ 若 $x \in Nul(A)$，那么$Ax = 0$

   ​ 那么$A^TAx = 0$，则$x \in Nul(A^TA)$

故我们有了：$Nul(A^TA) = Nul(A)$

同理易证：$Nul(AA^T) = Nul(A^T)$

由“$rank(A) + dim(Nul(A)) = A列数$”，以及注意到$A^TA与A$列数相等，可知：

$$rank(A^TA) = rank(A)$$

同理：

$$rank(AA^T) = rank(A^T)$$

又有：$rank(A^T) = rank(A)$

故：rank($A^TA$) = rank($AA^T$) = rank($A$) = rank($A^T$)得证

Q.E.D